अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 (x neq | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.$x$ से विभाजित करने पर रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}

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$y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.$x$ से विभाजित करने पर रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ इस प्रकार है: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.व्यापक हल है: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.शर्त $y(1) = 1$ का उपयोग करने पर:$1 \cdot (1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.$C$ का मान व्यापक हल में रखने पर:$y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$.$x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$.

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ $(x \neq 0)$ का हल,जहाँ $y(1) = 1$ है,क्या होगा?

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